Racines quatrièmes d'un complexe - Corrigé

Énoncé

Calculer les racines quatrièmes de \(81\) et \(-81\) .

Solution

Racines quatrièmes de \(81\)

On a \(\left\vert 81 \right\vert=81\) donc  \(\begin{align*}81=81\left(1+0i\right)=81\left( \cos(0)+i\sin(0)\right)=81\text e^{0i}.\end{align*}\)

Soit  \(z \in \mathbb{C}^\ast\) de forme exponentielle \(z=r\text e^{i\theta}\) avec \(r>0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) .

On a 
\(\begin{align*}z^4=81 \Longleftrightarrow(re^{i\theta})^4=81\text e^{0i} \Longleftrightarrow r^4\text e^{4i\theta}=81\text e^{0i}& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r^4=81 \\ 4\theta \equiv 0 \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[4]{81}=3 \text{ car } r>0 \\ \theta \equiv 0 \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)

donc les racines quatrièmes de \(81\) sont :

• \(3\text e^{0i} =3\)  
  
• \(3\text e^{i\left(0+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{\frac{i\pi}{2}}=3i\)
  
• \(3\text e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{i\pi}=-3\)
  
• \(3\text e^{i\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{\frac{3i\pi}{2}}=-3i\)
  

Racines quatrièmes de \(-81\)  

On a \(\left\vert -81 \right\vert=81\) donc  \(\begin{align*}-81=81\left(-1+0i\right)=81\left( \cos(\pi)+i\sin(\pi)\right)=81\text e^{i\pi}.\end{align*}\)

Soit  \(z \in \mathbb{C}^\ast\) de forme exponentielle \(z=r\text e^{i\theta}\) avec \(r>0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) .

On a :
\(\begin{align*}z^4=-81 \Longleftrightarrow (re^{i\theta})^4=81\text e^{i\pi} \Longleftrightarrow r^4\text e^{4i\theta}=81\text e^{i\pi}& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} r^4=81 \\ 4\theta \equiv \pi \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[4]{81}=3 \text{ car } r>0 \\ \theta \equiv \dfrac{\pi}{4} \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)

donc les racines quatrièmes de \(81\) sont :

• \(3\text e^{\frac{i\pi}{4}}=3\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}+i\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)  
  
• \(3\text e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{\frac{3i\pi}{4}}=3\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{-3}{\sqrt{2}}+i\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
  
• \(3\text e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{\frac{5i\pi}{4}}=3\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{-3}{\sqrt{2}}+i\dfrac{-3}{\sqrt{2}}\)  
  
• \(3\text e^{i\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)}=3\text e^{\frac{7i\pi}{4}}=3\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}+i\dfrac{-3}{\sqrt{2}}\)